Calcolo Esempi

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$