Calcolo Esempi

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Sottrai $e^{2 x}$ da $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.5

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.5.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.5.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $e^{2 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $e^{2 x}$ uguale a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi $e^{2 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{2 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.3.3

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $2 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 7$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ vera.

$x = \frac{7}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{7}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{7}{2}$ a $x$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 4.1.2.2.2

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Passaggio 4.1.2.2.4.2

Sottrai $6$ da $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{7} \cdot 2$

Passaggio 4.1.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Passaggio 4.2.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Passaggio 5