Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Passaggio 1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Passaggio 3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Passaggio 3.3

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Passaggio 3.5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Passaggio 3.5.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Passaggio 3.5.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ per $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Passaggio 3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Passaggio 3.9

Calcola il limite.

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Passaggio 3.9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Calcola $e^{u}$ per $- t$ e per $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Passaggio 3.9.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Passaggio 3.9.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 3.10

Poiché l'esponente $- t$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t}$ tende a $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 3.11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.11.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.11.2.1

Sottrai $1 \cdot 1$ da $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.11.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.2.2.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.11.2.2.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.11.2.2.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 3.11.2.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Passaggio 3.11.2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$