Calcolo Esempi

$\int \frac{(2 x^{2} + 4 x - 3)}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2} d x$

Passaggio 3

Espandi $(2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 x^{2} + 4 x) x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 x^{2} x^{- 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{2 - 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int 2 x^{0} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 2 \cdot 1 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int 2 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 + 4 (x^{1} x^{- 2}) - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 + 4 x^{1 - 2} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.9

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int 2 + 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.10

Riordina $2$ e $4 x^{- 1}$ .

$\int 4 x^{- 1} + 2 - 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 3.11

Sposta $2$ .

$\int 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} + 2 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$4 \ln (| x |) + \frac{3}{x} + 2 x + C$