Calcolo Esempi

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{π}{4}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- \frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Passaggio 1.3.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Passaggio 1.3.7.2

$\frac{π}{4}$ e $- 8$ .

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.3.7.3

$\frac{π \cdot - 8}{4}$ e $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 1.3.7.4

Sposta $- 8$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 1.3.7.5

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.5.1

Scomponi $4$ da $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Passaggio 1.3.7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

Passaggio 1.3.7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

Passaggio 1.3.7.5.2.4

Dividi $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ per $1$ .

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ rispetto a $x$ è $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- \frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Passaggio 2.3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3.6.2

$\frac{π}{4}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Passaggio 2.3.6.3

$\frac{π \cdot - 2}{4}$ e $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.8

$\frac{- 2 π^{2}}{4}$ e $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Passaggio 2.9

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Scomponi $2$ da $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Passaggio 2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

Passaggio 2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 2 π$ ciascun termine in $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 2 π$ ciascun termine in $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ .

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $0$ per $- π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

Passaggio 7

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} π$

Passaggio 9.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} π$

Passaggio 9.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 11.2.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

Passaggio 11.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Passaggio 11.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Passaggio 11.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot 3$

Passaggio 11.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = 6$

Passaggio 12

La soluzione dell'equazione $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ .

$x = 2, 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scomponi $2$ da $π (2)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 14.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 14.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 14.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 14.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

Passaggio 14.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

Passaggio 14.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $π^{2}$ per $1$ .

$- \frac{π^{2}}{2}$

Passaggio 15

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Passaggio 16.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Passaggio 16.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

Passaggio 16.2.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

Passaggio 16.2.4

Dividi $0$ per $2$ .

$f (2) = 8 \cos (0)$

Passaggio 16.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2) = 8 \cdot 1$

Passaggio 16.2.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (2) = 8$

Passaggio 16.2.7

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Scomponi $2$ da $π (6)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 18.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 18.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 18.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 18.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

Passaggio 18.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

Passaggio 18.2.3

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Passaggio 18.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Passaggio 18.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

Passaggio 18.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Passaggio 18.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Passaggio 18.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

Passaggio 18.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

Passaggio 18.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{π^{2}}{2}$

Passaggio 18.4

Moltiplica $- - \frac{π^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{π^{2}}{2}$

Passaggio 18.4.2

Moltiplica $\frac{π^{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Passaggio 19

$x = 6$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2.1.2

$\frac{π}{2}$ e $3$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 20.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

Passaggio 20.2.2.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 20.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 20.2.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (6) = 8 \cos (π)$

Passaggio 20.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

Passaggio 20.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 20.2.5

Moltiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (6) = 8 \cdot - 1$

Passaggio 20.2.5.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f (6) = - 8$

Passaggio 20.2.6

La risposta finale è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ .

$(2, 8)$ è un massimo locale

$(6, - 8)$ è un minimo locale

Passaggio 22