Calcolo Esempi

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Verifica che la soluzione data soddisfi l'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova $y'$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Riordina i fattori di $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Passaggio 1.3

Riordina i fattori in $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Passaggio 1.4

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = c e^{x^{2}}$ è una soluzione a $y' = 2 x y$

Passaggio 2

Sostituisci la condizione iniziale.

$1 = c e^{0^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi per $c$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Passaggio 3.2

Dividi per $e^{0^{2}}$ ciascun termine in $c e^{0^{2}} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $e^{0^{2}}$ ciascun termine in $c e^{0^{2}} = 1$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{0^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi $1$ per $1$ .

$c = 1$