Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} (x + 1)} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Dividi $A (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x + 1))$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.1.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.4.2.5

Dividi $B (x (x + 1))$ per $1$ .

$1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.9

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.9.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 4.1.5.9.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.6.1

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Passaggio 4.1.6.2

Sposta $A$ .

$1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Passaggio 4.1.6.3

Sposta $B x$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Passaggio 4.1.6.4

Sposta $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 4.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 4.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + C$ con $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

$0 = - 1 + C$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 4.3.5

Risolvi per $C$ in $0 = - 1 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + C = 0$ .

$- 1 + C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 4.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = 1 B = - 1 A = 1$

Passaggio 4.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 1, B = - 1, A = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 10

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + \ln (| x + 1 |) + C$