Calcolo Esempi

$\int 45 \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $45$ è costante rispetto a $x$ , sposta $45$ fuori dall'integrale.

$45 \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Metti in evidenza $\sin^{2} (x)$ .

$45 \int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (x)$ come $1 - \cos^{2} (x)$ .

$45 \int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$45 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 5

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$45 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$45 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$45 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$45 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$45 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$45 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$45 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$45 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$45 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 11.1.2

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$45 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$45 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$45 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x)) + C$