Calcolo Esempi

$\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $70$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(3 t^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ per $1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 3 t^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 t^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 (3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 t^{2} + 8$ da ${(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 t^{2} + 8$ da ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 t^{2} + 8$ da $- 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 t^{2} + 8$ da $(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $3 t^{2} + 8$ da ${(3 t^{2} + 8)}^{4}$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t^{2} + 8$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 11

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8$ rispetto a $t$ è $0$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $6 t$ e $0$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 13

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 14

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 16

Somma $1$ e $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{2}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 17

Sottrai $12 t^{2}$ da $3 t^{2}$ .

$70 \frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 18

$70$ e $\frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Moltiplica $- 9$ per $70$ .

$\frac{- 630 t^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.2.2

Moltiplica $70$ per $8$ .

$\frac{- 630 t^{2} + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.3

Scomponi $70$ da $- 630 t^{2} + 560$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Scomponi $70$ da $- 630 t^{2}$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.3.2

Scomponi $70$ da $560$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.3.3

Scomponi $70$ da $70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.4

Scomponi $- 1$ da $- 9 t^{2}$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2}) + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.5

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.6

Scomponi $- 1$ da $- (9 t^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.7

Riscrivi $- (9 t^{2} - 8)$ come $- 1 (9 t^{2} - 8)$ .

$\frac{70 (- 1 (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Passaggio 19.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{70 (9 t^{2} - 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$