Calcolo Esempi

$2 \sin^{4} (2 x) - 3 \sin^{3} (4 x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin^{4} (2 x) - 3 \sin^{3} (4 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin^{4} (2 x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin^{4} (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (2 x)$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 (4 \sin^{3} (2 x) (2 \cdot \cos (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $4$ .

$2 (8 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (4 x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin^{3} (4 x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (4 x)]$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (4 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\sin (4 x)$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sin (4 x)$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $4 x$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\cos (u_{4})$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $4 x$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (\cos (4 x) \cdot 4))$

Passaggio 3.7

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (3 \sin^{2} (4 x) (4 \cdot \cos (4 x)))$

Passaggio 3.8

Moltiplica $4$ per $3$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 3 (12 \sin^{2} (4 x) \cos (4 x))$

Passaggio 3.9

Moltiplica $12$ per $- 3$ .

$16 \sin^{3} (2 x) \cos (2 x) - 36 \sin^{2} (4 x) \cos (4 x)$