Calcolo Esempi

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

$e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Combina.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Passaggio 8.2

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Passaggio 8.3

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

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Passaggio 8.3.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Passaggio 8.3.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 8.4.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Passaggio 8.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.4.2.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Passaggio 8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Passaggio 8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Passaggio 8.5

Scomponi $- 1$ da $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Passaggio 8.6

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Passaggio 8.7

Scomponi $- 1$ da $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Passaggio 8.8

Riscrivi $- (x \ln (x) - 1)$ come $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Passaggio 8.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$