Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (2 t)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (2 t)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \cos (π)$

Passaggio 1.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Passaggio 1.5.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 3

Moltiplica $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $u_{2}$ per $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.5

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $- \frac{1}{2} u_{2}$ per $- 1$ e per $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Passaggio 9.2

Calcola $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ per $- 1$ e per $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3.4

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 9.3.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 9.3.9

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 9.3.10

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3.11

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.13

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.14

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.14.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.14.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 1}{4}$

Passaggio 9.3.16

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimale:

$0.75$