Calcolo Esempi

$(x^{2} + 1) \sin (3 x - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = \sin (3 x - 1)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sin (3 x - 1)] + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$(x^{2} + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) (\cos (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + 0) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) \cdot 3 + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)$ .

$3 \cdot ((x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + 0)$

Passaggio 3.10

Somma $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x^{2} + 3) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\cos (3 x - 1) (3 x^{2} + 3) + 2 x \sin (3 x - 1)$