Calcolo Esempi

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Passaggio 1

Poiché $44$ è costante rispetto a $x$ , sposta $44$ fuori dall'integrale.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 4 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $16$ da $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $16$ da $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi $16$ da $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi $16 \sec^{2} (t)$ come ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $4 \sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4 \sec (t)$ da ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $4 \sec (t)$ da $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $4$ da $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Passaggio 3.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{16}$ e $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $44$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\sec (x)$ come $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 6.2

Applica l'identità reciproca.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 6.3.2

Combina.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $\csc (t)$ per $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 6.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 6.3.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 6.3.5

$\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 6.3.6

Riduci l'espressione $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 6.3.6.2

Scomponi $\cot (t)$ da ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 6.3.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 6.3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $- \csc (t)$ è $\csc (t) \cot (t)$ , l'integrale di $\csc (t) \cot (t)$ è $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Passaggio 8.2

$\frac{11}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{x}{4})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{x}{4})$ . Perciò, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ è $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.7

Riscrivi $\frac{16 + x^{2}}{16}$ come ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.7.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.7.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.7.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.9

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Passaggio 10.1.10

Combina.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Passaggio 10.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Passaggio 10.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Passaggio 10.2

$11$ e $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Passaggio 10.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Passaggio 10.4

Combina.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Passaggio 10.5

Moltiplica $11$ per $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Passaggio 10.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$