Calcolo Esempi

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = \csc (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = \csc (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Passaggio 6.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.4.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Passaggio 6.1.3.4.2

Riordina i fattori di $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Passaggio 9.2.3

$- 4$ e $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Passaggio 9.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Passaggio 9.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 9.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Passaggio 9.2.4.2.4

Dividi $- 2 u_{2}$ per $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$