Calcolo Esempi

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $\frac{2 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ rispetto a $x$ è $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Passaggio 1.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$\frac{2 π}{3}$ e $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Passaggio 1.3.3.3

$\frac{- 20 π}{3}$ e $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Passaggio 1.3.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Passaggio 1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Passaggio 1.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

$\frac{2 π}{3}$ e $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Passaggio 1.4.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{20 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ e $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $20$ alla sinistra di $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{2 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 π x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{π}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Passaggio 2.3.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Somma $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.8.3

Moltiplica $20$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $20 π$ ciascun termine in $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $20 π$ ciascun termine in $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ per $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Scomponi $20$ da $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.2.1

Scomponi $20$ da $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Passaggio 5.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Passaggio 5.4

Sottrai $\frac{π}{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.5

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.6

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Semplifica $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.6.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.6.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.2.1

Scomponi $2 π$ da $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.6.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.6.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Passaggio 5.6.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Passaggio 5.6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.6.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Passaggio 5.6.2.1.2.2

Scomponi $π$ da $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Passaggio 5.6.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Passaggio 5.6.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.6.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.6.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.6.2.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Passaggio 5.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Passaggio 5.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Sottrai $\frac{π}{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.8.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.8.2.3

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 5.8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 5.8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.5.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 5.8.2.5.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1

Semplifica $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.2.1

Scomponi $2 π$ da $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1

Semplifica $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Passaggio 5.8.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.2.2

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.8.4.2.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 5.9

La soluzione dell'equazione $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.1.2

$\frac{1}{4}$ e $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.1.3

$\frac{- 2}{4}$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riduci l'espressione $\frac{- 2 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.2.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Passaggio 7.3.3

Somma $- π$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Passaggio 7.3.4

Dividi $0$ per $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Passaggio 7.3.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $40$ per $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Passaggio 8

$x = - \frac{1}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Passaggio 9.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Passaggio 9.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Passaggio 9.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Passaggio 9.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Passaggio 9.2.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Passaggio 9.2.5.3

Dividi $0$ per $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Passaggio 9.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Passaggio 9.2.7

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Passaggio 9.2.8

La risposta finale è $10$ .

$y = 10$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$\frac{5}{4}$ e $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.1.2

$\frac{5 \cdot 2}{4}$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.2.2

Riduci l'espressione $\frac{10 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $2$ da $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.2.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3.1.2

Moltiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3.3

Somma $5 π$ e $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Passaggio 11.3.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Passaggio 11.3.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Passaggio 11.3.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $- 1$ per $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.5

Moltiplica $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.5.2

Moltiplica $\frac{40 π^{2}}{9}$ per $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Passaggio 12

$x = \frac{5}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Passaggio 13.2.2

Somma $5$ e $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Passaggio 13.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Passaggio 13.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Passaggio 13.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Passaggio 13.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Passaggio 13.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Passaggio 13.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 13.2.5

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.2.6.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Passaggio 13.2.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Passaggio 13.2.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.9

Moltiplica $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.9.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Passaggio 13.2.10

La risposta finale è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ è un massimo locale

$(\frac{5}{4}, - 10)$ è un minimo locale

Passaggio 15