Calcolo Esempi

$\int {(\frac{8 + r}{r})}^{2} d r$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 + r}{r}$ .

$\int \frac{{(8 + r)}^{2}}{r^{2}} d r$

Passaggio 1.2

Sposta $r^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(8 + r)}^{2} {(r^{2})}^{- 1} d r$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(8 + r)}^{2} r^{2 \cdot - 1} d r$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int {(8 + r)}^{2} r^{- 2} d r$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 8 + r$ . Allora $d u_{1} = d r$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 8 + r$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $8 + r$ .

$\frac{d}{d r} [8 + r]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + r$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $8$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 8)}^{- 2} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = u_{1} - 8$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = u_{1} - 8$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $u_{1} - 8$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 8]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} - 8$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} + 8)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 4

Sia $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Allora $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e ${(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2}$ e ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Passaggio 5.3

Sposta ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Passaggio 5.4

Riscrivi ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Passaggio 7.3

Sposta ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Passaggio 7.4

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 7.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 7.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}$ come $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)$ .

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.8

Riordina ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ e $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.11

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.12.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 8.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.13

Semplifica.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.14

Eleva $u_{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.16

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.18

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.21

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.22

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.22.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.22.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.22.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.22.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.22.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.22.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.23

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.25

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.26

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.26.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.26.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.26.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.26.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.26.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.26.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.27

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.28

Somma $8 {u_{3}}^{- 1}$ e $8 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 8.29

Sposta ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int 16 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 11

Poiché $16$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (16 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 12

L'integrale di ${u_{3}}^{- 1}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 13

Poiché $64$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 14

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 15

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

$\frac{1}{2} (16 \ln (| u_{3} |) - \frac{128}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - \frac{128}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} - 8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(u_{1} - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 17.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $8 + r$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Combina i termini opposti in $16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(r + 0)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.1.2

Somma $r$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.1.3

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.1.4

Somma $r$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.1.5

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.1.6

Somma $r$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{1}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.2.2.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 18.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Passaggio 18.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Passaggio 18.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{1}) + C$

Passaggio 18.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r) + C$

Passaggio 18.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2})) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1.1

Scomponi $2$ da $16 \ln (r^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{128}{r}$ nel numeratore.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 128}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 128$ .

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 64)}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 r$ .

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 (r)) + C$

Passaggio 18.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Passaggio 18.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + r + C$

Passaggio 18.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 \ln (r^{2}) - \frac{64}{r} + r + C$