Calcolo Esempi

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} - e^{5 y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{5 y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

Passaggio 5.3

Sottrai $4 x' e^{4 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

Passaggio 5.4

Sottrai $x e^{x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Passaggio 5.5

Scomponi $x'$ da $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $x'$ da $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $x'$ da $- 4 x' e^{4 x}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x'$ da $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ .

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Passaggio 5.6

Dividi per $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ ciascun termine in $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ ciascun termine in $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 e^{5 y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x e^{x y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.5.1

Riscrivi $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ come $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.6.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$