Calcolo Esempi

Secondo la regola della somma, la derivata di ${\displaystyle x^5+x^4}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^5\right]+\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=5}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=4}$.

Secondo la regola della somma, la derivata di ${\displaystyle 5x^4+4x^3}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[5x^4\right]+\frac{d}{dx}\left[4x^3\right]}$.

Calcola ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[5x^4\right]}$.

Calcola ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x^3\right]}$.

Trova la derivata prima.

La derivata prima di ${\displaystyle f\left(x\right)}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle 5x^4+4x^3}$.

Poni la derivata prima uguale a ${\displaystyle 0}$.

Scomponi ${\displaystyle x^3}$ da ${\displaystyle 5x^4+4x^3}$.

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a ${\displaystyle 0}$, l'intera espressione sarà uguale a ${\displaystyle 0}$.

Imposta ${\displaystyle x^3}$ uguale a ${\displaystyle 0}$ e risolvi per ${\displaystyle x}$.

Imposta ${\displaystyle 5x+4}$ uguale a ${\displaystyle 0}$ e risolvi per ${\displaystyle x}$.

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${\displaystyle x^3(5x+4)=0}$ vera.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Semplifica ciascun termine.

Somma ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 0}$.

Dividi ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ in intervalli separati intorno ai valori ${\displaystyle x}$ che rendono la derivata prima ${\displaystyle 0}$ o indefinita.

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio ${\displaystyle -3}$, dell'intervallo ${\displaystyle (-\infty ,-\frac{4}{5})}$ nella derivata prima ${\displaystyle 5x^4+4x^3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio ${\displaystyle -0.4}$, dell'intervallo ${\displaystyle (-\frac{4}{5},0)}$ nella derivata prima ${\displaystyle 5x^4+4x^3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio ${\displaystyle 2}$, dell'intervallo ${\displaystyle (0,\infty )}$ nella derivata prima ${\displaystyle 5x^4+4x^3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a ${\displaystyle x=-\frac{4}{5}}$, allora ${\displaystyle x=-\frac{4}{5}}$ è un massimo locale.

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a ${\displaystyle x=0}$, allora ${\displaystyle x=0}$ è un minimo locale.

Questi sono gli estremi locali per ${\displaystyle f\left(x\right)=x^5+x^4}$.