Calcolo Esempi

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Allora $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (8 x) - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $8$ alla sinistra di $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $8 \sec^{2} (8 x)$ e $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Passaggio 2.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$