Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.4

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- x + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- \frac{3}{20}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{20} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} (5 x^{4})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 5 (\frac{3}{20}) x^{4}$

Passaggio 1.4.4

$- 5$ e $\frac{3}{20}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4}$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15}{20} x^{4}$

Passaggio 1.4.6

$\frac{- 15}{20}$ e $x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15 x^{4}}{20}$

Passaggio 1.4.7

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Scomponi $5$ da $- 15 x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{20}$

Passaggio 1.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)}$

Passaggio 1.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4}$

Passaggio 1.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 3 x^{4}}{4}$

Passaggio 1.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3 x^{4}}{4}$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x^{4}}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.4

$- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.6

$\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $4$ da $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7.2.4

Dividi $- 3 x^{3}$ per $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$