Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{4 \tan (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.1.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{4 \tan (0)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.3.5

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} - 1}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1}$

Passaggio 1.3.6.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \tan (- 2 - 2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = - 2 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.4

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Passaggio 3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x + 1} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.13.6

Moltiplica $e^{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 4

Sposta il termine $- 8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 8 lim_{x \to - 1} \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to - 1} \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 6

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (- 2 - 2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$- 8 \frac{{(lim_{x \to - 1} \sec (- 2 - 2 x))}^{2}}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$- 8 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Passaggio 11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 12

Sposta il limite nell'esponente.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 13

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 14

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 15

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Passaggio 16

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Passaggio 16.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17.1.1.2

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17.1.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 + 2)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (0)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17.1.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- 8 \frac{1^{2}}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 8 \frac{1}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Passaggio 17.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$- 8 \frac{1}{e^{0} + 1}$

Passaggio 17.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 8 \frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 17.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$- 8 (\frac{1}{2})$

Passaggio 17.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{1}{2}$

Passaggio 17.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 4 \frac{1}{2}$

Passaggio 17.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4$