Calcolo Esempi

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x^{2} y^{7}$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $7$ per $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 4 y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{5}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 y^{3}$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $5 x^{4} x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $28 y^{6} x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $8 y^{7} x x'$ .

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x'$ da $- 2 x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $x'$ da $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ .

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $x'$ da $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ ciascun termine in $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ ciascun termine in $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $4 y^{2}$ da $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Scomponi $4 y^{2}$ da $12 y^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $4 y^{2}$ da $- 28 y^{6} x^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Scomponi $4 y^{2}$ da $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$