Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

Passaggio 2

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Calcola $x \tan (x)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\ln (| \sec (x) |)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.1.3.1

$\frac{π}{4}$ e $\tan (\frac{π}{4})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $0$ per $\tan (0)$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Passaggio 3.1.3.3

Somma $\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ e $0$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Passaggio 3.1.3.4

Per scrivere $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.1.3.5

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.1.3.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Passaggio 3.2.2

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Passaggio 3.2.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Passaggio 3.2.5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.3.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ corrisponde approssimativamente a $1.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 3.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

Passaggio 3.3.3

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Forma decimale:

$0.43882457 \dots$