Calcolo Esempi

$\frac{\ln (2 x)}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (2 x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2 x}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{d}{d x} [x]$ per $1$ .

$\frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - \ln (2 x)}{x^{2}}$