Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Passaggio 1.5

Somma $4 x^{3} + 1$ e $0$ .

$4 x^{3} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $4 x^{3} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} + 1$ .

$4 x^{3} + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} = - 1$

Passaggio 5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = - 1$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{4}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5.4

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 5.5.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 5.5.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Passaggio 5.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.5.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 5.5.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 5.5.7.5.5

Calcola l'esponente.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 5.5.8.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 5.5.8.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.8.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 5.5.8.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.5.8.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 5.5.9

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.9.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Passaggio 5.5.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 9.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Passaggio 9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \sqrt[3]{4}$

Passaggio 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ come $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.4.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.4.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.4.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Passaggio 11.2.3

Per scrivere $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Passaggio 11.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Passaggio 11.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Passaggio 11.2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Passaggio 11.2.6.1.2

Sottrai $4 \sqrt[3]{2}$ da $\sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Passaggio 11.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} + x + 2$ .

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ è un minimo locale

Passaggio 13