Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

Passaggio 1

Riscrivi $x \log (x)$ come $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\log (x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\log (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

Passaggio 2.5

$\frac{1}{x \ln (10)}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Passaggio 2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x$ da $x \ln (10)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

Passaggio 2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Passaggio 2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $\frac{1}{\ln (10)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

Passaggio 5

Moltiplica $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$0$