Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 3.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 3.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 3.3.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 4.2

Riordina $x^{\frac{1}{2}}$ e $2$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 4.3

Riordina $x^{\frac{1}{2}}$ e $- 1$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.4

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

Passaggio 4.7

Somma $1$ e $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.8.1

Elimina il fattore comune.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Passaggio 4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

Passaggio 4.9

Semplifica.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

Passaggio 4.10

Riordina $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $- x$ .

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$