Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 5 - 3 x^{3}$ . Allora $d u = - 9 x^{2} d x$ , quindi $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 5 - 3 x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $9 x^{2}$ da $0$ .

$- 9 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{9}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 9} d u$

Passaggio 3.3

Sposta $9$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u))$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $18$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 6.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $6$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(5 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$