Calcolo Esempi

$\sqrt{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + \sin (x)}$ come ${(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(1 + \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 7.2.2

Sposta ${(1 + \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 7.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 7.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$