Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - x^{2}$ . Allora $d u = (1 - 2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$- 2 x + 1$

Passaggio 1.1.5

Rimetti in ordine i termini.

$1 - 2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $- 2$ e per $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{4}$ e $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.3.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Passaggio 3.2.7

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 4