Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 6 x$ . Allora $d u_{1} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 6

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 8.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Passaggio 10

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 4 x$ . Allora $d u_{2} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 12

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{1}{4}$ e $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 15

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 16.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 16.2.2

Moltiplica $\cos (u_{2})$ per $1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$