Calcolo Esempi

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (1 - \sin (x))$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\csc (1 - \sin (x))$ in termini di seno e coseno.

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Passaggio 5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Passaggio 5.5

$2$ e $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Passaggio 5.6

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\cot (1 - \sin (x))$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.8

Combina.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.9

Moltiplica $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ per $\sin (1 - \sin (x))$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.9.1

Moltiplica $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ per $\sin (1 - \sin (x))$ .

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Passaggio 5.9.1.1

Eleva $\sin (1 - \sin (x))$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

Passaggio 5.9.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.10

Scomponi $\sin (1 - \sin (x))$ da $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.11

Frazioni separate.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.12

Riscrivi $\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ come un prodotto.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Passaggio 5.13

Scrivi $\cos (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Passaggio 5.14

Semplifica.

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Passaggio 5.14.1

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Passaggio 5.14.2

Converti da $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ a $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.15

Scomponi $\sin (1 - \sin (x))$ da $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.16

Frazioni separate.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.17

Converti da $\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ a $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.18

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.19

Converti da $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ a $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.20

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Passaggio 5.21

Moltiplica $2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ .

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Passaggio 5.21.1

Eleva $\csc (1 - \sin (x))$ alla potenza di $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 5.21.2

Eleva $\csc (1 - \sin (x))$ alla potenza di $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 5.21.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 5.21.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$