Calcolo Esempi

$x y^{2} - y^{3} = x^{2} - 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} - y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Passaggio 5.2

Scomponi $y y'$ da $2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y y'$ da $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (- 3 y) = 2 x - y^{2}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$

Passaggio 5.3

Dividi per $y (2 x - 3 y)$ ciascun termine in $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $y (2 x - 3 y)$ ciascun termine in $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ .

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y}{2 x - 3 y}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{y}{2 x - 3 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (2 x - 3 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{2 x - 3 y}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{2 x - (y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$