Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ e $0$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $60 x^{3} - 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6