Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{{(2 x + 3)}^{2} - 1}{x^{2} + x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(2 x + 3)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(2 x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(2 x + 3)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} 2 x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{{(2 \cdot - 1 + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(- 2 + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{{(2 x + 3)}^{2} - 1}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(2 x + 3)}^{2}$ come $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 3) (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 12 x + 9 - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.10

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.10.1

Somma $8 x + 12$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.10.2

Somma $8 x + 12$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{2 x + 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 8 x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 8 x + lim_{x \to - 1} 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 12}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{- 8 + 12}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.1.2

Somma $- 8$ e $12$ .

$\frac{4}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.3

Dividi $4$ per $- 1$ .

$- 4$