Calcolo Esempi

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1.1

Calcola $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ per $8$ e per $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Passaggio 6.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $8$ e per $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.5

$\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.7

Elimina il fattore comune di $48$ e $4$ .

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Passaggio 6.1.3.7.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.3.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.7.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.10

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.11

$12$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.3.13.1

Moltiplica $12$ per $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.13.2

Sottrai $3$ da $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.14

Per scrivere $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.1.3.15

$- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.1.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.1.3.17

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Passaggio 6.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $8$ è $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 6.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

Passaggio 6.3.3

Dividi $8$ per $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Forma decimale:

$9.17055845 \dots$

Passaggio 8