Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - 2 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.7.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.7.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.7.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.7.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 4 x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Passaggio 2.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 2.9

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 2.10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 2.11

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{0 + 0 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{0 + 0 - 2}$

Passaggio 4.2.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{0 - 2}$

Passaggio 4.2.6

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{1}{- 2}$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$