Calcolo Esempi

$y^{3} + 2 x = x^{2} - 2 + y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 2 x) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 + y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 y^{2} y' + 2$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 0 + 2 y y'$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 3.3.2

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' + 2 = 2 y y' + 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + 2 - 2 y y' = 2 x$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 2 y y' = 2 x - 2$

Passaggio 5.3

Scomponi $y y'$ da $3 y^{2} y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y y' (3 y) - 2 y y' = 2 x - 2$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y y'$ da $- 2 y y'$ .

$y y' (3 y) + y y' \cdot - 2 = 2 x - 2$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y y'$ da $y y' (3 y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$

Passaggio 5.4

Dividi per $y (3 y - 2)$ ciascun termine in $y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $y (3 y - 2)$ ciascun termine in $y y' (3 y - 2) = 2 x - 2$ .

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3 y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} + \frac{- 2}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y (3 y - 2)} - \frac{2}{y (3 y - 2)}$