Calcolo Esempi

${(1 + e^{x})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{x}$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

Passaggio 4.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$