Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{3} + 2$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{3} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1 + 2$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

Passaggio 7

$\frac{1}{3}$ e $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $t^{3} + 2$ e per $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Passaggio 8.2.3

$- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

Passaggio 8.2.6

Riscrivi $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ come un prodotto.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

Passaggio 9.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

Passaggio 9.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Passaggio 9.4

Riscrivi $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ come $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Passaggio 9.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Passaggio 10

Calcola il limite.

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Passaggio 10.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Passaggio 10.2

Sposta il termine $\frac{1}{9}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

Passaggio 10.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{t^{3} + 2}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 10.7

Calcola il limite.

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Passaggio 10.7.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.7.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.7.2.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 10.7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

Passaggio 10.7.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

Passaggio 10.7.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ .

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Passaggio 10.7.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9})$

Passaggio 10.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$\frac{1}{9}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{9}$

Forma decimale:

$0.\overline{1}$