Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6} x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{1}{6} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.3

$- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 3}{6} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{- 3}{6}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.5

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{6} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - 3 (\frac{1}{6}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.4

$- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.5

$\frac{- 3}{6}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Passaggio 1.4

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.4

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.6.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- x + 4 (\frac{1}{2}) x^{- 5}$

Passaggio 2.3.9

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- x + \frac{4}{2} x^{- 5}$

Passaggio 2.3.10

$\frac{4}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$- x + \frac{4 x^{- 5}}{2}$

Passaggio 2.3.11

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x + \frac{4}{2 x^{5}}$

Passaggio 2.3.12

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Passaggio 2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5}$ .

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{5})}$

Passaggio 2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Passaggio 2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - x + \frac{2}{x^{5}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x + \frac{2}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 1 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$- 1 + 2 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$- 1 + 2 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 3.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 + 2 (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$- 1 - 10 x^{- 6}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - 10 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- 10$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- 1 + \frac{- 10}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 1 - \frac{10}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = - \frac{10}{x^{6}} - 1$