Calcolo Esempi

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ a $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 5

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (x)$ e $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Passaggio 7

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Passaggio 8

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 10.2

Riordina $\tan^{2} (x)$ e $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 11

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 12

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 12.3

Riordina $\sec (x)$ e $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 13

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Passaggio 14

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Passaggio 16

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 17

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Passaggio 18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Passaggio 19

Somma $2$ e $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 20

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Passaggio 21

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Passaggio 22

L'integrale di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Passaggio 23

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 23.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 24

Risolvendo $\int \sec^{3} (x) d x$ , troviamo che $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Passaggio 25

Moltiplica $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ per $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Passaggio 26

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Passaggio 27

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$