Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{3}{20}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{20} x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$\frac{3}{20} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

$- 4$ e $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{- 12}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{- 12}{20}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{- 12 x^{- 5}}{20} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.6

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 12}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $20 x^{5}$ .

$\frac{4 (- 3)}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + 2 x$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- \frac{3}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{5 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.5.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 2.5.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 2.5.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + 5 (\frac{3}{5}) x^{- 6}$

Passaggio 2.5.9

$5$ e $\frac{3}{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5} x^{- 6}$

Passaggio 2.5.10

Moltiplica $5$ per $3$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5} x^{- 6}$

Passaggio 2.5.11

$\frac{15}{5}$ e $x^{- 6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15 x^{- 6}}{5}$

Passaggio 2.5.12

Sposta $x^{- 6}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.5.13

Elimina il fattore comune di $15$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.13.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.5.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.13.2.1

Scomponi $5$ da $5 x^{6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 (x^{6})}$

Passaggio 2.5.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.5.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{3}{x^{6}}$

Passaggio 2.6

Riordina i termini.

$f'' (x) = 20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$