Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (4 - x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{4 - x}$ e $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.11

$\frac{3}{4 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 3.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 3.16

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Passaggio 3.17

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Passaggio 6

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Passaggio 7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Passaggio 12.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sottrai $3$ da $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 12.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$