Calcolo Esempi

$y = \ln (x + y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $1 + y'$ per $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riordina $1$ e $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x + y' y - y' = 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' x + y' y - y'$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Passaggio 5.3.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x + y - 1$ ciascun termine in $y' (x + y - 1) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x + y - 1$ ciascun termine in $y' (x + y - 1) = 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + y - 1$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$