Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - 2 x$ .

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - 2 x$ .

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $e^{u}$ per $- 1$ e per $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Passaggio 7.4.3

$\frac{1}{2}$ e $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Passaggio 7.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Forma decimale:

$1.17520119 \dots$

Passaggio 9