Calcolo Esempi

$y x^{y - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = x^{y - 1}$ .

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = y - 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $y - 1$ per $0$ .

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $0$ per $x^{y - 2}$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ .

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Somma $1$ e $0$ .

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $x^{y - 1}$ per $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

Passaggio 3.9

Moltiplica $x^{y - 1}$ per $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ .

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$