Calcolo Esempi

$f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 0.3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 0.3 t^{3}$ rispetto a $t$ è $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $80$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $80 t$ rispetto a $t$ è $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $80$ per $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $425$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $425$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 0.9 t^{2} + 80$ e $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.9 t^{2} + 80$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [80]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 0.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (80)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 0.9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 0.9 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 0.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = - 0.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (80)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (t) = - 0.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (80)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.9$ .

$f'' (t) = - 1.8 t + \frac{d}{d t} (80)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $80$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $80$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = - 1.8 t + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 1.8 t$ e $0$ .

$f'' (t) = - 1.8 t$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 0.3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 0.3 t^{3}$ rispetto a $t$ è $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $80$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $80 t$ rispetto a $t$ è $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $80$ per $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $425$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $425$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 0.9 t^{2} + 80$ e $0$ .

$f' (t) = - 0.9 t^{2} + 80$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $- 0.9 t^{2} + 80$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 0.9 t^{2} + 80 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $80$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.9 t^{2} = - 80$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 0.9$ ciascun termine in $- 0.9 t^{2} = - 80$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 0.9$ ciascun termine in $- 0.9 t^{2} = - 80$ .

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$t^{2} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 80$ per $- 0.9$ .

$t^{2} = 88.\overline{8}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$t = \pm \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1.8$ per $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$- 16.97056274$

Passaggio 10

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\sqrt{88.\overline{8}}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(\sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ come $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $88.\overline{8}$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 0.3$ per $\sqrt{702331.96159122}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 251.41574442 + 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 251.41574442$ e $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 502.83148884 + 425$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $502.83148884$ e $425$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 927.83148884$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $927.83148884$ .

$y = 927.83148884$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$

Passaggio 13

Moltiplica $- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1.8$ .

$1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $1.8$ per $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$16.97056274$

Passaggio 14

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- \sqrt{88.\overline{8}}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(- \sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ come $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $88.\overline{8}$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{702331.96159122}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 0.3 (- \sqrt{702331.96159122})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 0.3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2.1.5.2

Moltiplica $0.3$ per $\sqrt{702331.96159122}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $80$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 - 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ da $251.41574442$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 502.83148884 + 425$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 502.83148884$ e $425$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 77.83148884$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 77.83148884$ .

$y = - 77.83148884$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ .

$(\sqrt{88.\overline{8}}, 927.83148884)$ è un massimo locale

$(- \sqrt{88.\overline{8}}, - 77.83148884)$ è un minimo locale

Passaggio 17