Calcolo Esempi

$2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 4.2

Somma $2 x e^{x}$ e $e^{x} (2 x)$ .

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Passaggio 4.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

Passaggio 4.2.2

Somma $2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$4 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$